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Continuamos ampliando la publicación anterior de la Electrónica Digital. Hoy continuamos con las Funciones Lógicas.

FUNCIONES LÓGICAS.

Hasta ahora hemos visto las puertas lógicas individualmente y como se comportan según sus entradas. Pero estas puertas sirven para construir circuitos más complejos, combinándolas entre sí, obteniendo así un circuito lógico combinacional.
Es para ello, que aparecen las funciones lógicas. Estas son la representación matemática, de las posibles combinaciones de las entradas, en las que obtenemos un uno en la salida.

Como nuestro sistema electrónico, se ha de comportar según lo establecido en la tabla de la verdad correspondiente, para conseguirlo, se reduce la tabla de la verdad a una sola expresión que se llama función lógica.
Las funciones lógicas pueden ser largas y muy complejas, pero siempre van a ser una combinación de las tres operaciones lógicas básicas: Suma, producto y negación lógica. Por eso, nos interesa simplificarla al máximo posible.
A estas operaciones lógicas básicas y a las que derivan de ellas se las denomina de forma genérica, álgebra de Boole.
Pongamos un ejemplo sencillo: Nos dan la siguiente tabla de la verdad y tenemos que obtener la función lógica.

Como hemos dicho, tomamos solo las combinaciones donde la función de salida (S) es 1:

Cuando A y B valen 0 y C vale 1, es decir, A' B' C

Cuando A y C valen 0 y B vale 1, es decir, A' B C'

Y cuando A y C valen 1 y B vale 0, es decir, A B' C

Como S vale 1 en cualquiera de esos tres casos, hacemos la suma lógica de las tres:

S = A'B'C + A'BC' + AB'C

De esta forma, se obtiene lo que se conoce como MinTerms (Suma de productos o SOP). Otro método, es obtener la función donde la salida es 0, y de denomina MaxTerms (Producto de sumas o POS). Quedaría de la siguiente manera, para la misma tabla de la verdad:

S = (A'+B'+C’)•(A’+B+C)•(A+B’+C')•(A+B+C’)•(A+B+C)

Ya hemos obtenido nuestra primera función lógica. Ahora es el momento de intentar simplificarla al máximo, sin dejar de obtener los mismos resultados en la salida. Pero antes vamos a ver cómo, mediante varios métodos, como el álgebra de Boole.

Álgebra de Boole.

La simplificación de las funciones lógicas, se puede obtener a partir de ciertas reglas básicas o propiedades de Algebra de Boole. Las propiedades asociativa, distributiva y conmutativa son bastante intuitivas, puesto que existen igualmente en la suma de números naturales a la que estamos acostumbrados.
El resto de propiedades, es algo más complejo de explicar. A continuación os mostramos una tabla con dichas propiedades:

Aplicando el álgebra de Boole, para la función anterior, daríamos los siguientes pasos:

Función inicial; S = A'•B'•C + A'•B•C' + A•B'•C

Aplicar Propiedad Distributiva: B'•C•(A'+A) + (A'•B•C')

Aplicar Propiedad Inversión; B'•C•1 + A'•B•C'

Aplicar Propiedad Identidad; B'•C + A'•B•C'

S = A'•B'•C + A'•B•C' + A•B'•C = B'•C + A'•B•C'

Leyes de Morgan.

Las leyes de De Morgan son un par de reglas de transformación, que también complementan el álgebra de Boole, para sistemas lógicos y llevan el nombre de Augustus De Morgan, matemático británico del siglo XIX.
Las reglas permiten la expresión de conjunciones y disyunciones entre sí, a través de la negación y estas son las leyes:

-La negación de una disyunción es la conjunción de las negaciones
-La negación de una conjunción es la disyunción de las negaciones

O dicho de otra manera, la negación de la suma es igual al producto de las negaciones, y la negación del producto es igual a la suma de las negaciones:

Con estas leyes, lo que se puede hacer es, obtener una puerta usando otro tipo. Por ejemplo, podemos conseguir una puerta AND utilizando una puerta NOR con sus entradas negadas:

A • B = (A’ +B’)’

También se puede obtener una puerta OR utilizando una puerta NAND con sus entradas negadas:

A + B = (A’ • B’)’

Obtener una puerta NAND utilizando una puerta OR con sus dos entradas negadas.

(A + B)’ = A’ • B’

Conseguir una puerta NOR utilizando una puerta AND con sus entradas negadas:

(A • B)’ = A’ + B’

Mapa de Karnaugh.

Adicionalmente a los métodos mencionados anteriormente, tenemos un método llamado el mapa de Karnaugh, que fue inventado en 1953 por Maurice Karnaugh, físico y matemático estadounidense.
Este método nos proporciona una forma sistemática de minimización de expresiones booleanas, obteniendo patrones de forma gráfica, y sin necesidad de hacer cálculos. Y nos permite obtener la Suma de productos (SOP) o bien el producto de sumas (POS).
Los pasos a seguir para el Mapa de Karnaugh son estos:

-Obtener la función lógica en suma de productos
-Representar en el mapa de Karnaugh la función algebraica o tabla de verdad que se desee representar. Se colocan las variables, observando que sus columnas o filas adyacentes sólo pueden diferir su estado en una de sus variables.
- Agrupar los unos (maximizar el tamaño de los grupos minimizando el número de unos):
-Un grupo ha de contener 1, 2, 4, 8 o 16 celdas
-Cada celda del grupo tiene que ser adyacente a una o más celdas del grupo sin necesidad de que todas las celdas del grupo sean adyacentes entre sí.
-Incluir siempre en cada grupo el mayor número de unos posibles
-Cada 1 del mapa tiene que estar incluido en al menos un grupo. Los que ya pertenezcan a un grupo pueden estar incluidos en otro, siempre que los grupos que se solapen contengan unos no comunes. Los bordes también se agrupan con el opuesto.

-Simplificar: Eliminar variables que aparecen complementadas y sin complementar dentro del mismo grupo

Pongamos el ejemplo de la función anterior:

S = A'•B'•C + A'•B•C' + A•B'•C

Para esta función, y aplicando los unos, el Mapa nos quedaría así:

Para esta función, teniendo en cuenta las condiciones de agrupación por elementos comunes, tenemos estos:

Para las agrupaciones obtenidas, hacemos la representación de la función correspondiente:

S = B'•C + A'•B•C'

Y si habéis estado atentos, os habréis dado cuenta que hemos llegado al mismo resultado que con el álgebra de Boole.

Circuito Lógico con Puertas Lógicas

De la tabla de la verdad del ejemplo inicial, obteniendo la función, tendríamos el siguiente circuito:

Y aplicando alguno de los métodos de simplificación obtendríamos el siguiente circuito:

Se puede apreciar, pues que hemos pasado de tener nueve puertas lógicas a tan solo seis, para obtener el mismo resultado en la salida.

En próximas publicaciones, veremos las puertas lógicas físicas.

Y aquí tienes la publicaciones anteriores, por si os perdisteis alguna:

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